Poisson Verteilung
Die Poisson-Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ein grundlegendes Konzept in der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Es wird hauptsächlich verwendet, um das Auftreten seltener Ereignisse wie Unfälle oder Ausfälle in einem bestimmten Zeitrahmen oder Raum zu modellieren. Das Verständnis seiner Grundlagen ist in mehreren Studienbereichen, einschließlich Versicherungen, Finanzen und Ingenieurwesen, unerlässlich. Die Poisson-Verteilung wurde erstmals im frühen 19. Jahrhundert von dem französischen Mathematiker Siméon-Denis Poisson eingeführt.
Die Verteilung erklärt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem bestimmten Zeitraum oder Gebiet eine bestimmte Anzahl von Malen auftritt. Die Verteilung wird hauptsächlich verwendet, um die Häufigkeit seltener Ereignisse oder Ereignisse in Anwendungen wie Versicherungsrisiken, Ausfallratenanalyse und Warteschlangentheorie zu beschreiben.
Die Poisson-Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ein mathematisches Modell für einen Zufallsprozess, bei dem ein Ereignis unabhängig und mit konstanter Geschwindigkeit über Zeit oder Raum eintritt. Das Auftreten eines solchen Ereignisses wird als Poisson-Prozess bezeichnet. Ein Beispiel für einen Poisson-Prozess könnte die Anzahl der Kunden sein, die in einem bestimmten Zeitintervall ein Geschäft betreten, die Anzahl der von einer Maschine an einem Tag produzierten fehlerhaften Produkte oder die Anzahl der Unfälle, die sich in einer Woche auf einer bestimmten Straße ereignen. Die Grundkomponente der Poisson-Verteilung ist der Mittelwert (λ) der Ereignisse, die typischerweise in einem festen Zeitintervall oder bestimmten Bereich stattfinden.
Es wird angenommen, dass das Ereignis beliebig oft auftreten kann, einschließlich null Mal im Intervall. Daher ist die Wahrscheinlichkeit jeder resultierenden Zählung unabhängig voneinander.
Die Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion (PMF) der Poisson-Verteilung ist definiert als P(x) = e^−λ * λ^x / x!, wobei x die Häufigkeit ist, mit der das Ereignis in dem gegebenen Intervall aufgetreten ist, e die mathematische Konstante , und x! ist die Fakultät von x. Der Mittelwert der Poisson-Verteilung ist λ, und die Varianz ist ebenfalls gleich λ.
Einer der grundlegendsten Aspekte der Poisson-Verteilung ist, dass sie nützlich ist, um die Wahrscheinlichkeit seltener Ereignisse zu messen. Der Poisson-Verteilungsansatz geht davon aus, dass seltene Ereignisse zeitlich oder räumlich mit einer konstanten Rate auftreten. Unter Verwendung dieser Annahme berechnet das Modell die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Ereignissen innerhalb eines definierten Intervalls.
Betrachten Sie zur Veranschaulichung dieses Punktes ein Beispiel. Ein zufälliges Ereignis tritt wahrscheinlich im Durchschnitt alle zehn Stunden auf. Wie wahrscheinlich ist es, dass das Ereignis innerhalb von 40 Stunden viermal eintritt?
Unter Verwendung der Poisson-Verteilung können wir berechnen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb von 40 Stunden vier Ereignisse auftreten, ungefähr 0,018 beträgt.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Poisson-Verteilung ein wertvolles Werkzeug zur Analyse seltener Ereignisse ist, die unabhängig voneinander über Zeit oder Raum auftreten. Das Verständnis der Grundprinzipien der Wahrscheinlichkeitsverteilung kann Menschen helfen, fundierte Entscheidungen in verschiedenen Bereichen wie Versicherung, Fertigung und Marketing zu treffen.
Man kann die Verteilung verwenden, um die Wahrscheinlichkeit des Auftretens seltener Ereignisse abzuschätzen, was Unternehmen hilft, Risiken im Voraus zu planen und zu mindern.
